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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6: Teorema del Valor Medio

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9. Mediante los cocientes incrementales correspondientes, decida si las siguientes funciones son derivables en el punto indicado.
a) $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{e^{\sin(3\pi x)}-1}{x-1} & \text{ si } x \neq 1 \\ -3\pi & \text{ si } x=1\end{array}\right.$ en $x=1$

Respuesta

⚠️ Ejercicio típico de parcial ⚠️

Queremos ver si la función $f(x)$ es derivable en $x=0$. Acordate que para que una función sea derivable en un punto, primero tiene que ser continua en ese punto; entonces, arrancamos estudiamos continuidad de $f$ en $x=1$.

Recordemos los tres puntos que tiene que cumplir una función $f$ para ser continua en un $x=x_0$

a) $f(x_0)$ debe estar definida.
b) El límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $x_0$ debe existir y ser un número real.
c) El límite cuando $x$ tiende a $x_0$ debe ser igual a $f(x_0)$.

Veamos si nuestra $f$ cumple estas tres condiciones cuando $x=1$

a) $f(1) = -3 \pi$

b) Calculamos el $\lim_{x \rightarrow 1} f(x) $

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{e^{\sin(3\pi x)}-1}{x-1} $

Este límite ya lo calculamos en el Ejercicio 6 a), y vimos que el resultado era $-3\pi$

c) $\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = f(1)$

Impecable, se cumplen las tres condiciones, por lo tanto $f$ es continua en $x=1$.

Ahora estudiamos derivabilidad en $x=1$. Como se trata de una función partida, y queremos calcular la derivada justo donde la función se parte, lo hacemos por definición usando el cociente incremental:

$ f'(1) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} $

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{e^{\sin(3\pi(1 + h))}-1}{h} - (-3\pi)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{e^{\sin(3\pi + 3\pi h)}-1}{h} + 3\pi}{h}$

Atenti acá. Primero escribimos esa suma que nos quedó en el numerador como una única fracción:

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \frac{e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} - 1 + 3\pi h}{h}    }{h} $

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} - 1 + 3\pi h}{h^2} $

Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero sobre cero". Aplicamos L'Hopital:

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} \cdot \cos(3\pi + 3\pi h) \cdot 3\pi + 3\pi   }{2h} $

Seguimos con un "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital una vez más. Dale, respiramos profundo y derivamos, ahí va...

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} \cdot \cos^2(3\pi + 3\pi h) \cdot (3\pi)^2 - e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} \cdot \sin(3\pi + 3\pi h) \cdot (3\pi)^2}{2} $

Al fin se nos fue la indeterminación, entonces tomamos límite:

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} \cdot \cos^2(3\pi + 3\pi h) \cdot (3\pi)^2 - e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} \cdot \sin(3\pi + 3\pi h) \cdot (3\pi)^2}{2} = \frac{(3\pi)^2}{2}$

Por lo tanto...

$ f'(1) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \frac{(3\pi)^2}{2} $

Es decir, $f$ es derivable en $x=1$ y $f'(1) = \frac{(3\pi)^2}{2}$
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Avatar Valentina 11 de mayo 21:20
Hola flor que tal? disculpa aun sigo sin entender por que tanto el coseno como el 3pi quedan al cuadrado en esta parte :(
Avatar Valentina 11 de mayo 21:21
2025-05-11%2021:21:14_6576772.png
Avatar Flor Profesor 12 de mayo 09:41
@Valentina Hola Valen! Esos te aparecen cuando aplicas regla de la cadena... Fijate despacito que, para hacer esta derivada:

$e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} \cdot \cos(3\pi + 3\pi h) \cdot 3\pi$

tenemos que aplicar regla del producto, y podés tomar al "primero" como la exponencial y al "segundo" como el coseno ese multiplicado por $3\pi$, o sea esto:

El primero -> $e^{\sin(3\pi + 3\pi h)}$

El segundo -> $\cos(3\pi + 3\pi h) \cdot 3\pi$

Entonces, cuando a vos te toque hace "el primero derivado", por regla de la cadena te va a aparecer multiplicando un $\cos(3\pi + 3\pi h)$ y a su vez multiplicando un $3\pi$ (la derivada de lo de adentro del coseno), hay una flor de regla de la cadena acá jaja 

Ahora, ese choclo del "primero derivado" va a estar multiplicando "al segundo sin derivar", y ahí tenés los dos cosenos y los dos $3\pi$ multiplicándose, por eso te quedan al cuadrado

Si esto sigue sin quedar del todo claro, quiero que primero pienses cómo hacer esta derivada:

$e^{\sin(3\pi + 3\pi h)}$

Cualquier cosa, si no termina de cerrar, mandame foto de cómo te está quedando esta derivada, así lo seguimos charlando y termina de quedar claro :)
Avatar Valentina 24 de mayo 14:43
Hola flor, pregunta, cuando usas lhopital por segunda vez, porque el cos y el 3pi te quedan al cuadrado? No entiendo el procedimiento que hiciste ahi 
Avatar Valentina 24 de mayo 14:52
ya encontre el error jajajjaja

Avatar Flor Profesor 24 de mayo 21:23
Jajajaja buenísimo! Si miras los comentarios más abajo vas a ver que no fuiste la única que tuvo dudas con todo este choclo xD jaja
Avatar Sofia 21 de mayo 18:28
Hola! Te queria consultar porque al derivarlo ami no me quedo al final 3pi cuadrado multiplicado por sen de 3pih mas 3pi, no entiendo de donde sale el cuadrado
Avatar Sofia 21 de mayo 18:29
Avatar Flor Profesor 21 de mayo 20:39
@Sofia Hola Sofi! Fijate que eso aparece cuando te toca derivar $\cos(3\pi + 3\pi h) \cdot (3\pi)$

Ahí te puse los pasos en la tablet, a ver si se nota mejor por qué queda el $3\pi$ al cuadrado, porfa avisame si ahora se ve más claro :)

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Avatar Benjamin 12 de mayo 20:29
De donde sale el 3 pi al cubo
Avatar Flor Profesor 13 de mayo 12:15
@Benjamin Tranqui que ahí me confundi yo entre tanto tipeo jajaja es $(3\pi)^2$, ahí lo acabo de modificar! :D
Avatar Benjamin 12 de mayo 20:22
Cuando aplicas l hopital por segunda vez y usas la regla del producto por que queda un menos ahi en vez de un mas??? Osea igual ahora viendolo veo q es por la derivada del cos, pero es necesario o como se cuando tengo que cambiar ese signo de ahi? 
Avatar Flor Profesor 13 de mayo 12:13
@Benjamin Exacto, es por eso! Si quisieras lo podrías escribir así

2024-05-13%2012:12:26_9946946.png

Pero me parece que es mucho más práctico (y tenés menos riesgo de confundirte después) si ya ese $-$ lo pones adelante por regla de signos y listo. 
Avatar Benjamin 12 de mayo 20:17
cuando derivas sen(3pi+3pih), no quedaria cos(3pi+3pi.h) y la derivada de lo de adentro no tendria q ser 3pi+3pi?? h no contaria como un x que al derivarlo queda en 1, o cuenta como si fuese un numero y que cuando lo derivo queda en 0
Avatar Flor Profesor 13 de mayo 12:09
@Benjamin Fijate que "lo de adentro" es $3\pi + 3\pi h$. Como vos decís, la variable acá es $h$ así que es "como si fuera $x$" en los otros ejercicios. Entonces, la derivada de $3\pi h$ te queda simplemente $3\pi$ (porque la derivada de $h$ es 1), pero atenti, la derivada de ese primer $3\pi$ que esta sumando, te queda 0! Porque $3\pi$ es simplemente un número y la derivada da cero 
Avatar Benjamin 12 de mayo 20:12
Por que queda el h al cuadrado ??
Avatar Flor Profesor 13 de mayo 12:07
@Benjamin Si vas a la clases donde estan todos los ejercicios de continuidad y derivabilidad de parcial, en la que se llama "Decidir si $f$ es derivable en un punto" está explicado en el minuto 9:00 eso mismo :) 
Avatar Benjamin 12 de mayo 20:07
Buenas, tengo unas dudas. No podria tomar el limite cuando e a la sen(3 pi *(1+h)) sobre h -1, como que todo eso da -3pi, y a eso sumarlo al 3pi, y despues decir esto es un 0/0 y despues aplicar l´hopital para que me termine quedando todo 0?
Avatar Flor Profesor 13 de mayo 12:02
@Benjamin Hola Benja! Arranco primera por esta duda: Eso lo podrias hacer, pero probaste qué pasaba? Vas a ver que te queda algo medio feo en el numerador (cuando derivas el cociente que está ahí en el numerador), y puede ser que termine saliendo igual, pero seguro es un camino mucho más cuentoso... En general te va a convenir llevarlo a un único cociente antes de aplicar L'Hopital por primera vez 
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