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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6: Teorema del Valor Medio

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9. Mediante los cocientes incrementales correspondientes, decida si las siguientes funciones son derivables en el punto indicado.
a) f(x)={esin⁡(3πx)−1x−1 si x≠1−3π si x=1f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{e^{\sin(3\pi x)}-1}{x-1} & \text{ si } x \neq 1 \\ -3\pi & \text{ si } x=1\end{array}\right. en x=1x=1

Respuesta

⚠️ Ejercicio típico de parcial ⚠️

Queremos ver si la función f(x)f(x) es derivable en x=0x=0. Acordate que para que una función sea derivable en un punto, primero tiene que ser continua en ese punto; entonces, arrancamos estudiamos continuidad de ff en x=1x=1.

Recordemos los tres puntos que tiene que cumplir una función ff para ser continua en un x=x0x=x_0

a) f(x0)f(x_0) debe estar definida.
b) El límite de f(x)f(x) cuando xx tiende a x0x_0 debe existir y ser un número real.
c) El límite cuando xx tiende a x0x_0 debe ser igual a f(x0)f(x_0).

Veamos si nuestra ff cumple estas tres condiciones cuando x=1x=1

a) f(1)=−3πf(1) = -3 \pi

b) Calculamos el lim⁡x→1f(x)\lim_{x \rightarrow 1} f(x)

lim⁡x→1 esin⁡(3πx)−1x−1 \lim_{x \rightarrow 1} \frac{e^{\sin(3\pi x)}-1}{x-1} 

Este límite ya lo calculamos en el Ejercicio 6 a), y vimos que el resultado era −3π-3\pi

c) lim⁡x→1f(x)=f(1)\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = f(1)

Impecable, se cumplen las tres condiciones, por lo tanto ff es continua en x=1x=1.

Ahora estudiamos derivabilidad en x=1x=1. Como se trata de una función partida, y queremos calcular la derivada justo donde la función se parte, lo hacemos por definición usando el cociente incremental:

f′(1)=lim⁡h→0f(1+h)−f(1)h f'(1) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h}

lim⁡h→0esin⁡(3π(1+h))−1h−(−3π)h= lim⁡h→0esin⁡(3π+3πh)−1h+3πh \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{e^{\sin(3\pi(1 + h))}-1}{h} - (-3\pi)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{e^{\sin(3\pi + 3\pi h)}-1}{h} + 3\pi}{h}

Atenti acá. Primero escribimos esa suma que nos quedó en el numerador como una única fracción:

lim⁡h→0esin⁡(3π+3πh)−1+3πhh  h \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \frac{e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} - 1 + 3\pi h}{h}    }{h}

lim⁡h→0esin⁡(3π+3πh)−1+3πhh2 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} - 1 + 3\pi h}{h^2}

Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero sobre cero". Aplicamos L'Hopital:

lim⁡h→0 esin⁡(3π+3πh)⋅cos⁡(3π+3πh)⋅3π+3π  2h \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} \cdot \cos(3\pi + 3\pi h) \cdot 3\pi + 3\pi   }{2h}

Seguimos con un "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital una vez más. Dale, respiramos profundo y derivamos, ahí va...

lim⁡h→0esin⁡(3π+3πh)⋅cos⁡2(3π+3πh)⋅(3π)2−esin⁡(3π+3πh)⋅sin⁡(3π+3πh)⋅(3π)22 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} \cdot \cos^2(3\pi + 3\pi h) \cdot (3\pi)^2 - e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} \cdot \sin(3\pi + 3\pi h) \cdot (3\pi)^2}{2}

Al fin se nos fue la indeterminación, entonces tomamos límite:

lim⁡h→0esin⁡(3π+3πh)⋅cos⁡2(3π+3πh)⋅(3π)2−esin⁡(3π+3πh)⋅sin⁡(3π+3πh)⋅(3π)22= (3π)22 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} \cdot \cos^2(3\pi + 3\pi h) \cdot (3\pi)^2 - e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} \cdot \sin(3\pi + 3\pi h) \cdot (3\pi)^2}{2} = \frac{(3\pi)^2}{2}

Por lo tanto...

 f′(1)=lim⁡h→0f(1+h)−f(1)h= (3π)22  f'(1) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \frac{(3\pi)^2}{2} 

Es decir, ff es derivable en x=1x=1 y f′(1)= (3π)22f'(1) = \frac{(3\pi)^2}{2}
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Valentina
24 de mayo 14:43
Hola flor, pregunta, cuando usas lhopital por segunda vez, porque el cos y el 3pi te quedan al cuadrado? No entiendo el procedimiento que hiciste ahi 
0 Responder
Valentina
24 de mayo 14:52
ya encontre el error jajajjaja
0 Responder
Flor
PROFE
24 de mayo 21:23
Jajajaja buenísimo! Si miras los comentarios más abajo vas a ver que no fuiste la única que tuvo dudas con todo este choclo xD jaja
0 Responder
Sofia
21 de mayo 18:28
Hola! Te queria consultar porque al derivarlo ami no me quedo al final 3pi cuadrado multiplicado por sen de 3pih mas 3pi, no entiendo de donde sale el cuadrado
0 Responder
Sofia
21 de mayo 18:29
0 Responder
Flor
PROFE
21 de mayo 20:39
@Sofia Hola Sofi! Fijate que eso aparece cuando te toca derivar cos⁡(3π+3πh)⋅(3π)\cos(3\pi + 3\pi h) \cdot (3\pi)

Ahí te puse los pasos en la tablet, a ver si se nota mejor por qué queda el 3π3\pi al cuadrado, porfa avisame si ahora se ve más claro :)

2024-05-21%2020:39:05_9380672.png
0 Responder
Benjamin
12 de mayo 20:29
De donde sale el 3 pi al cubo
0 Responder
Flor
PROFE
13 de mayo 12:15
@Benjamin Tranqui que ahí me confundi yo entre tanto tipeo jajaja es (3π)2(3\pi)^2, ahí lo acabo de modificar! :D
0 Responder
Benjamin
12 de mayo 20:22
Cuando aplicas l hopital por segunda vez y usas la regla del producto por que queda un menos ahi en vez de un mas??? Osea igual ahora viendolo veo q es por la derivada del cos, pero es necesario o como se cuando tengo que cambiar ese signo de ahi? 
0 Responder
Flor
PROFE
13 de mayo 12:13
@Benjamin Exacto, es por eso! Si quisieras lo podrías escribir así

2024-05-13%2012:12:26_9946946.png

Pero me parece que es mucho más práctico (y tenés menos riesgo de confundirte después) si ya ese −- lo pones adelante por regla de signos y listo. 
0 Responder
Benjamin
12 de mayo 20:17
cuando derivas sen(3pi+3pih), no quedaria cos(3pi+3pi.h) y la derivada de lo de adentro no tendria q ser 3pi+3pi?? h no contaria como un x que al derivarlo queda en 1, o cuenta como si fuese un numero y que cuando lo derivo queda en 0
0 Responder
Flor
PROFE
13 de mayo 12:09
@Benjamin Fijate que "lo de adentro" es 3π+3πh3\pi + 3\pi h. Como vos decís, la variable acá es hh así que es "como si fuera xx" en los otros ejercicios. Entonces, la derivada de 3πh3\pi h te queda simplemente 3π3\pi (porque la derivada de hh es 1), pero atenti, la derivada de ese primer 3π3\pi que esta sumando, te queda 0! Porque 3π3\pi es simplemente un número y la derivada da cero 
0 Responder
Benjamin
12 de mayo 20:12
Por que queda el h al cuadrado ??
0 Responder
Flor
PROFE
13 de mayo 12:07
@Benjamin Si vas a la clases donde estan todos los ejercicios de continuidad y derivabilidad de parcial, en la que se llama "Decidir si ff es derivable en un punto" está explicado en el minuto 9:00 eso mismo :) 
0 Responder
Benjamin
12 de mayo 20:07
Buenas, tengo unas dudas. No podria tomar el limite cuando e a la sen(3 pi *(1+h)) sobre h -1, como que todo eso da -3pi, y a eso sumarlo al 3pi, y despues decir esto es un 0/0 y despues aplicar l´hopital para que me termine quedando todo 0?
0 Responder
Flor
PROFE
13 de mayo 12:02
@Benjamin Hola Benja! Arranco primera por esta duda: Eso lo podrias hacer, pero probaste qué pasaba? Vas a ver que te queda algo medio feo en el numerador (cuando derivas el cociente que está ahí en el numerador), y puede ser que termine saliendo igual, pero seguro es un camino mucho más cuentoso... En general te va a convenir llevarlo a un único cociente antes de aplicar L'Hopital por primera vez 
0 Responder